도입 연립방정식 $A\vec{x} = \vec{b}$를 풀 때 가장 먼저 드는 질문은 이것이다: “이 방정식의 해가 존재하는가? 그리고 존재한다면 몇 개인가?” 해가 없는 경우, 해가 하나인 경우, 해가 무한히 많은 경우 — 이 세 가지 상황을 결정하는 것이 바로 행렬 $A$의 두 가지 핵심 부분공간이다. 열공간(Column Space): ...

Introduction When you encounter a system of equations $A\vec{x} = \vec{b}$, the very first question is: “Does a solution exist? And if so, how many solutions are there?” There are three possible ...

도입 1차원은 선, 2차원은 평면, 3차원은 우리가 사는 공간 — 누구나 직관적으로 알고 있는 개념이다. 그런데 수학적으로 “차원”을 정확히 어떻게 정의할까? 차원은 그 공간을 기술하기 위해 필요한 최소한의 독립적인 방향의 수다. 선형대수에서 이 수는 기저의 원소 개수로 정확히 정의된다. 놀라운 사실: 같은 벡터 공간에 대해 기저를 어떻게 선택하...

Introduction One dimension is a line, two dimensions is a plane, three dimensions is the space we live in – everyone has an intuitive sense of this. But how do we define “dimension” rigorously in ...

도입 등산 지도를 펼쳤을 때 “동쪽”과 “북쪽”이라는 두 방향이 있다. 이 두 방향은 서로 “진짜 다른” 방향이다 — 동쪽으로만 아무리 걸어도 북쪽으로는 이동하지 않는다. 이제 “동쪽”과 “동북쪽”을 생각해보자. 동북쪽은 동쪽 $\frac{1}{\sqrt{2}}$배 + 북쪽 $\frac{1}{\sqrt{2}}$배이므로 “새로운 방향”이 아니다. 이...

Introduction Picture yourself holding a hiking map. “East” and “North” are two genuinely different directions – no matter how far you walk east, you will never move north. These two directions are...

도입 2D 평면 위에 원점을 지나는 직선 하나를 그어보자. 그 직선 위의 모든 점(벡터)을 모아놓은 집합을 생각해보면, 이 집합은 특별한 성질을 갖는다. 두 점을 더해도 여전히 직선 위에 있고, 점에 임의의 수를 곱해도 여전히 직선 위에 있다. 이런 집합을 부분공간(Subspace)이라 부른다. 부분공간은 벡터 공간 안에 존재하는 “더 작은 벡터 ...

Introduction Imagine drawing a line through the origin on a 2D plane. Now collect every point (vector) that lies on that line into a set. This set has a remarkable property: if you add any two vec...

도입 “먼저 오른쪽으로 90° 회전한 다음, x 방향으로 2배 늘린다.” “먼저 x 방향으로 2배 늘린 다음, 오른쪽으로 90° 회전한다.” 이 두 가지 순서의 결과가 같을까? — 다르다. 행렬의 곱셈은 일반적으로 순서를 바꾸면 결과가 달라진다. 이것은 버그가 아니라 수학의 본질이다. 로봇 팔의 관절을 제어하거나, 3D 애니메이션의 키프레임을 설...

Introduction “First rotate 90 degrees to the right, then stretch by a factor of 2 in the x-direction.” “First stretch by a factor of 2 in the x-direction, then rotate 90 degrees to the right.” Do...