도입 지도에서 북쪽과 동쪽은 서로 완전히 독립적이다. 북쪽으로 이동해도 동쪽 좌표는 전혀 바뀌지 않는다. 이 직교 좌표계 덕분에 지도 읽기, GPS 계산, 건물 설계가 단순해진다. 이처럼 서로 수직인 벡터들로 이루어진 좌표계는 계산을 엄청나게 단순화시킨다. 선형대수에서 이 아이디어가 직교 벡터(orthogonal vectors)와 직교 행렬(ort...

Introduction On a map, north and east are completely independent directions. Moving north does not change your east coordinate at all. This orthogonal coordinate system is what makes map reading, ...

도입 지금까지 고유값과 고유벡터를 대수적으로 계산하는 방법을 배웠다. 이번 글에서는 한 발짝 물러서서 “이것이 기하학적으로 무엇을 의미하는가?”를 깊이 생각해 보자. 사실 고유값과 고유벡터는 선형변환의 주요 축(principal axes)을 찾는 것이다. 마치 타원의 장축과 단축을 찾듯이, 선형변환이 가장 강하게 작용하는 방향과 얼마나 늘리거나 줄이...

Introduction So far we have treated eigenvalues and eigenvectors algebraically – computing them through characteristic equations and diagonalization. Now let us step back and ask: “What does all o...

도입 $A^{30}$을 계산해야 한다고 상상해 보자. 행렬 곱셈을 30번 반복하는 것은 매우 번거롭고 오류가 생기기 쉽다. 하지만 만약 $A$가 대각행렬이라면? $D^{30}$은 각 대각 성분을 30제곱하기만 하면 된다. 대각화(Diagonalization)는 이 아이디어를 일반 행렬로 확장한다. 고유값과 고유벡터를 이용해 복잡한 행렬을 본질적으로 ...

Introduction Imagine you need to compute $A^{30}$. Multiplying a matrix by itself 30 times is tedious and error-prone. But what if $A$ were a diagonal matrix? Then $D^{30}$ is trivial – you just r...

도입 이전 글에서 고유값과 고유벡터의 개념을 배웠다. $A\vec{v} = \lambda\vec{v}$를 만족하는 $\lambda$와 $\vec{v}$가 존재한다는 것은 알겠는데, 막상 실제 행렬이 주어졌을 때 이것을 어떻게 구할까? 주먹구구식으로 “혹시 이 벡터가 고유벡터일까?” 하며 하나씩 대입해 볼 수는 없다. 다행히도 선형대수학은 고유값을 ...

Introduction In the previous post, we learned what eigenvalues and eigenvectors are. The equation $A\vec{v} = \lambda\vec{v}$ tells us that certain special vectors only get scaled by a transformat...

도입 거울 앞에 서서 팔을 들어 올리면, 거울 속 나도 팔을 들어 올린다. 하지만 거울은 좌우를 바꾼다. 이처럼 대부분의 변환은 벡터의 방향을 바꿔버린다. 그런데 특별한 벡터들이 있다. 변환을 가해도 방향이 전혀 달라지지 않고, 오직 크기만 변하는 벡터들이다. 이 특별한 벡터가 바로 고유벡터(eigenvector)이고, 크기가 얼마나 변했는지를 나타...

Introduction Stand in front of a mirror and raise your arm. Your reflection raises its arm too – but the mirror flips left and right. Most transformations change the direction of vectors. Yet some...