4.4 변환의 합성
도입
“먼저 오른쪽으로 90° 회전한 다음, x 방향으로 2배 늘린다.” “먼저 x 방향으로 2배 늘린 다음, 오른쪽으로 90° 회전한다.”
이 두 가지 순서의 결과가 같을까? — 다르다.
행렬의 곱셈은 일반적으로 순서를 바꾸면 결과가 달라진다. 이것은 버그가 아니라 수학의 본질이다. 로봇 팔의 관절을 제어하거나, 3D 애니메이션의 키프레임을 설계할 때 변환 순서를 잘못 잡으면 완전히 다른 움직임이 나온다. 변환의 합성(Composition)을 이해하는 것은 선형대수의 핵심 역량이다.
합성의 정의
변환 $T_1 : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$과 $T_2 : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^k$가 있을 때, 두 변환을 연달아 적용하는 합성 변환은
\[T_2 \circ T_1 : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^k, \quad (T_2 \circ T_1)(\vec{x}) = T_2(T_1(\vec{x}))\]$T_1$을 먼저 적용하고, $T_2$를 나중에 적용한다.
행렬로 표현하기
$T_1(\vec{x}) = A\vec{x}$, $T_2(\vec{x}) = B\vec{x}$이면
\[(T_2 \circ T_1)(\vec{x}) = B(A\vec{x}) = (BA)\vec{x}\]합성 변환의 행렬은 $BA$다 — 나중에 적용하는 변환의 행렬을 앞에 쓴다.
이 표기 방식은 처음에는 헷갈리지만, 행렬-벡터 곱의 방향을 따라가면 자연스럽다.
순서의 중요성: $AB \neq BA$
예시: 45° 회전 행렬 $R$과 x축 반사 행렬 $M$을 정의하자.
\[R = R_{45°} = \begin{pmatrix} \tfrac{\sqrt{2}}{2} & -\tfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \tfrac{\sqrt{2}}{2} & \tfrac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}, \quad M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\]경우 1 — 먼저 회전, 나중에 반사: 합성 행렬은 $MR$
\[MR = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \tfrac{\sqrt{2}}{2} & -\tfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \tfrac{\sqrt{2}}{2} & \tfrac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{\sqrt{2}}{2} & -\tfrac{\sqrt{2}}{2} \\ -\tfrac{\sqrt{2}}{2} & -\tfrac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}\]경우 2 — 먼저 반사, 나중에 회전: 합성 행렬은 $RM$
\[RM = \begin{pmatrix} \tfrac{\sqrt{2}}{2} & -\tfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \tfrac{\sqrt{2}}{2} & \tfrac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{\sqrt{2}}{2} & \tfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \tfrac{\sqrt{2}}{2} & -\tfrac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}\]$MR \neq RM$ — 순서가 다르면 결과가 다르다.
역변환 (Inverse Transformation)
선형변환 $T(\vec{x}) = A\vec{x}$의 역변환 $T^{-1}$은
\[T^{-1}(\vec{y}) = A^{-1}\vec{y}\]즉, 역변환의 행렬은 원래 행렬의 역행렬이다.
역변환이 존재하려면 $A$가 정칙행렬(가역행렬)이어야 한다: $\det(A) \neq 0$.
합성의 역변환:
\[(T_2 \circ T_1)^{-1} = T_1^{-1} \circ T_2^{-1}\]행렬로는
\[(BA)^{-1} = A^{-1}B^{-1}\]순서가 뒤집힌다 — 신발과 양말의 비유: 신을 때는 양말 먼저, 벗을 때는 신발 먼저.
예시: 45° 회전 후 x축 반사
벡터 $\vec{x} = (1, 0)^\top$에 45° 회전 후 x축 반사를 적용해보자.
단계 1: 45° 회전
\[R_{45°}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{\sqrt{2}}{2}\\\tfrac{\sqrt{2}}{2}\end{pmatrix}\]단계 2: x축 반사
\[M_x\begin{pmatrix}\tfrac{\sqrt{2}}{2}\\\tfrac{\sqrt{2}}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{\sqrt{2}}{2}\\-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\end{pmatrix}\]합성 행렬 $M_x R_{45°}$로 한 번에 계산해도 동일한 결과를 얻는다.
핵심 포인트 정리
| 개념 | 설명/공식 |
|---|---|
| 합성 변환 | $(T_2 \circ T_1)(\vec{x}) = T_2(T_1(\vec{x}))$ |
| 합성 행렬 | $T_1 \to A$, $T_2 \to B$이면 합성 행렬은 $BA$ |
| 순서 규칙 | 나중에 적용하는 변환의 행렬을 앞에 쓴다 |
| 비가환성 | 일반적으로 $AB \neq BA$ |
| 역변환 | $T^{-1}$의 행렬은 $A^{-1}$ (역행렬) |
| 합성의 역변환 | $(BA)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$ (순서 역전) |
| 역변환 존재 조건 | $\det(A) \neq 0$ |
다음 글에서는 벡터 공간 — 부분공간과 생성(Span)을 알아본다.