6.3 대각화 (Diagonalization)
도입
$A^{30}$을 계산해야 한다고 상상해 보자. 행렬 곱셈을 30번 반복하는 것은 매우 번거롭고 오류가 생기기 쉽다. 하지만 만약 $A$가 대각행렬이라면? $D^{30}$은 각 대각 성분을 30제곱하기만 하면 된다. 대각화(Diagonalization)는 이 아이디어를 일반 행렬로 확장한다. 고유값과 고유벡터를 이용해 복잡한 행렬을 본질적으로 대각행렬처럼 다룰 수 있게 해주는 강력한 기법이다.
대각화는 수학적 아름다움뿐만 아니라 응용에서도 핵심적이다. 미분방정식의 연립 시스템 풀기, 마르코프 연쇄에서 장기 확률 예측, 물리학에서 결합된 진동자 문제까지 — 대각화는 복잡한 반복 계산을 단순하게 만들어주는 핵심 도구다.
대각화의 정의
$A = PDP^{-1}$
$n \times n$ 행렬 $A$가 다음과 같이 분해될 때 $A$는 대각화 가능(diagonalizable)하다고 한다:
\[A = PDP^{-1}\]여기서:
- $D$: 고유값들을 대각 성분으로 갖는 대각행렬
- $P$: 대응하는 고유벡터들을 열로 갖는 가역행렬
- $P^{-1}$: $P$의 역행렬
대각화의 조건
$n$개의 선형독립 고유벡터
$n \times n$ 행렬 $A$가 대각화 가능할 조건: $n$개의 선형독립 고유벡터를 가져야 한다.
이때 $P$의 열을 이 고유벡터들로 구성하면 $P$가 가역행렬이 된다.
충분 조건: $A$가 $n$개의 서로 다른 고유값을 가지면 대각화 가능하다. (서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터들은 항상 선형독립이다.)
하지만 중복 고유값이 있어도 대각화가 가능한 경우가 있고(각 고유값의 기하학적 중복도가 대수적 중복도와 같을 때), 불가능한 경우도 있다.
대각화가 불가능한 예
\[B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]특성방정식: $(1-\lambda)^2 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$ (중복도 2)
$(B - I)\vec{v} = \begin{pmatrix}0&1\0&0\end{pmatrix}\vec{v} = \vec{0}$의 해: $\vec{v} = t\begin{pmatrix}1\0\end{pmatrix}$
선형독립 고유벡터가 1개뿐이므로 $B$는 대각화 불가능이다.
대각화 계산 예시
예시 행렬
앞서 6.2에서 다룬 행렬을 대각화해 보자:
\[A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\]고유값: $\lambda_1 = 5$, $\lambda_2 = 2$
고유벡터: $\vec{v}_1 = \begin{pmatrix}1\1\end{pmatrix}$, $\vec{v}_2 = \begin{pmatrix}1\-2\end{pmatrix}$
$P$, $D$, $P^{-1}$ 구성
\[P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\]$P^{-1}$ 계산: $\det(P) = (1)(-2) - (1)(1) = -3$
\[P^{-1} = \frac{1}{-3}\begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2/3 & 1/3 \\ 1/3 & -1/3 \end{pmatrix}\]검증: $A = PDP^{-1}$
\[PDP^{-1} = \begin{pmatrix}1&1\\1&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&0\\0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2/3&1/3\\1/3&-1/3\end{pmatrix}\] \[= \begin{pmatrix}5&2\\5&-4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2/3&1/3\\1/3&-1/3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix} = A \checkmark\]
대각화의 핵심 활용: 행렬의 거듭제곱
$A^k = PD^kP^{-1}$
대각화의 가장 강력한 응용은 행렬 거듭제곱의 효율적 계산이다:
\[A^k = (PDP^{-1})^k = PD^kP^{-1}\]이 식이 성립하는 이유:
\[A^2 = (PDP^{-1})(PDP^{-1}) = PD(P^{-1}P)DP^{-1} = PD^2P^{-1}\] \[A^k = PD^kP^{-1}\]대각행렬의 거듭제곱은 각 대각 성분을 $k$제곱하면 된다:
\[D^k = \begin{pmatrix} \lambda_1^k & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2^k & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n^k \end{pmatrix}\]예시: $A^{10}$ 계산
\[A^{10} = PD^{10}P^{-1} = \begin{pmatrix}1&1\\1&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5^{10}&0\\0&2^{10}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2/3&1/3\\1/3&-1/3\end{pmatrix}\]$5^{10} = 9{,}765{,}625$, $2^{10} = 1{,}024$
행렬 곱을 30번 반복하는 것 대신, 단 몇 번의 계산으로 끝난다.
대각화와 선형 점화식
피보나치 수열에의 응용
피보나치 수열 $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$을 행렬 형태로 표현하면:
\[\begin{pmatrix} F_{n+1} \\ F_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} F_n \\ F_{n-1} \end{pmatrix}\]이 행렬을 대각화하면 $F_n$의 닫힌 형태(closed form) 공식을 유도할 수 있다.
핵심 포인트 정리
| 개념 | 설명/공식 |
|---|---|
| 대각화 정의 | $A = PDP^{-1}$ |
| $P$ 구성 | 열 = 선형독립 고유벡터 $\vec{v}_1, \ldots, \vec{v}_n$ |
| $D$ 구성 | 대각 = 대응 고유값 $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ |
| 대각화 조건 | $n \times n$ 행렬이 $n$개의 선형독립 고유벡터 보유 |
| 충분 조건 | $n$개의 서로 다른 고유값 존재 |
| 거듭제곱 | $A^k = PD^kP^{-1}$ |
| $D^k$ 계산 | 각 대각 성분의 $k$제곱 |
| 대각화 불가 | 선형독립 고유벡터가 $n$개 미만인 경우 |
다음 글에서는 고유값의 기하학적 의미를 더 깊이 탐구하고, 대칭행렬의 특별한 성질과 스펙트럴 분해를 살펴본다.