5.3 차원 (Dimension)
도입
1차원은 선, 2차원은 평면, 3차원은 우리가 사는 공간 — 누구나 직관적으로 알고 있는 개념이다. 그런데 수학적으로 “차원”을 정확히 어떻게 정의할까?
차원은 그 공간을 기술하기 위해 필요한 최소한의 독립적인 방향의 수다. 선형대수에서 이 수는 기저의 원소 개수로 정확히 정의된다.
놀라운 사실: 같은 벡터 공간에 대해 기저를 어떻게 선택하든 원소의 수는 항상 같다. 이것이 차원을 잘 정의된 개념으로 만들어주는 정리다.
차원의 정의
벡터 공간 $V$의 차원(Dimension)은 $V$의 기저의 원소 개수다:
\[\dim(V) = \text{(기저의 벡터 개수)}\]기저를 어떻게 선택해도 이 수는 변하지 않는다.
특수 경우: ${\vec{0}}$만 포함하는 영공간(zero space)의 기저는 공집합이므로
\[\dim(\{\vec{0}\}) = 0\]친숙한 예시들
$\mathbb{R}^1$ — 직선
기저: ${1}$ (또는 임의의 영이 아닌 실수 하나) \(\dim(\mathbb{R}^1) = 1\)
$\mathbb{R}^2$ — 평면
기저: ${\hat{e}_1, \hat{e}_2} = {(1,0)^\top, (0,1)^\top}$ \(\dim(\mathbb{R}^2) = 2\)
또 다른 기저 예시: ${(1,1)^\top, (1,-1)^\top}$ — 선형 독립이고 $\mathbb{R}^2$를 생성하므로 유효한 기저.
$\mathbb{R}^3$ — 3차원 공간
기저: ${\hat{e}_1, \hat{e}_2, \hat{e}_3}$ \(\dim(\mathbb{R}^3) = 3\)
차원 표
| 공간 | 기저 예시 | 차원 |
|---|---|---|
| ${\vec{0}}$ | 공집합 $\emptyset$ | $0$ |
| 원점을 지나는 직선 | 직선 방향의 벡터 하나 | $1$ |
| 원점을 포함하는 평면 | 비평행한 두 벡터 | $2$ |
| $\mathbb{R}^2$ | ${\hat{e}_1, \hat{e}_2}$ | $2$ |
| $\mathbb{R}^3$ | ${\hat{e}_1, \hat{e}_2, \hat{e}_3}$ | $3$ |
| $\mathbb{R}^n$ | ${\hat{e}_1, \ldots, \hat{e}_n}$ | $n$ |
차원 정리 (Dimension Theorem)
정리: 유한 차원 벡터 공간 $V$의 모든 기저는 원소의 수가 같다.
이 정리가 없다면 차원의 정의 자체가 불명확해진다. 증명의 핵심 아이디어: 기저의 크기가 다른 두 기저가 있다고 가정하면 모순이 생긴다.
따름정리들:
- $V$에서 $\dim(V)$개의 선형 독립인 벡터들은 자동으로 기저가 된다.
- $V$에서 $\dim(V)$개의 벡터들이 $V$를 생성하면 자동으로 기저가 된다.
부분공간의 차원
$W$가 $V$의 부분공간이면
\[\dim(W) \leq \dim(V)\]등호는 $W = V$일 때만 성립한다.
예시: $\mathbb{R}^3$의 부분공간의 차원:
| 부분공간 | 기하학적 의미 | 차원 |
|---|---|---|
| ${\vec{0}}$ | 원점 | $0$ |
| $\text{span}{\vec{v}}$ | 원점 지나는 직선 | $1$ |
| $\text{span}{\vec{v}_1, \vec{v}_2}$ | 원점 포함 평면 | $2$ |
| $\mathbb{R}^3$ 전체 | 3차원 공간 | $3$ |
기저의 확장과 축소
기저 확장 정리: $W$의 기저 $\mathcal{B}_W$를 $V$의 기저 $\mathcal{B}_V$로 확장할 수 있다.
선형 독립 집합 확장: 선형 독립인 벡터들의 집합에 벡터를 추가하면서 여전히 선형 독립을 유지하면, 기저까지 확장 가능하다.
생성 집합 축소: 과잉된 벡터가 있는 생성 집합에서 벡터를 제거하면서 여전히 생성을 유지하면, 기저로 축소 가능하다.
직관적 이해
차원은 “자유도(degree of freedom)”의 수로 이해할 수 있다.
- 1차원 공간(직선) 위의 점을 지정하려면 숫자 하나가 필요.
- 2차원 공간(평면) 위의 점을 지정하려면 숫자 둘이 필요.
- $n$차원 공간의 점을 지정하려면 숫자 $n$개가 필요.
기저의 원소 수 = 공간을 표현하기 위해 필요한 독립적인 숫자의 수 = 차원.
핵심 포인트 정리
| 개념 | 설명/공식 |
|---|---|
| 차원 정의 | $\dim(V)$ = 기저의 원소 개수 |
| 영공간 차원 | $\dim({\vec{0}}) = 0$ |
| $\mathbb{R}^n$의 차원 | $\dim(\mathbb{R}^n) = n$ |
| 차원 정리 | 모든 기저는 원소의 수가 같다 |
| 부분공간 차원 | $\dim(W) \leq \dim(V)$ |
| 직관 | 차원 = 공간 안의 점을 지정하는 데 필요한 숫자의 수 |
다음 글에서는 영공간과 열공간 — 행렬 방정식 $A\vec{x}=\vec{b}$의 해가 언제 존재하는지를 알아본다.