5.1 부분공간과 생성 (Subspace & Span)
도입
2D 평면 위에 원점을 지나는 직선 하나를 그어보자. 그 직선 위의 모든 점(벡터)을 모아놓은 집합을 생각해보면, 이 집합은 특별한 성질을 갖는다. 두 점을 더해도 여전히 직선 위에 있고, 점에 임의의 수를 곱해도 여전히 직선 위에 있다.
이런 집합을 부분공간(Subspace)이라 부른다. 부분공간은 벡터 공간 안에 존재하는 “더 작은 벡터 공간”이다. 그리고 주어진 벡터들로 만들 수 있는 모든 선형결합의 집합을 생성(Span)이라 부른다. 이 두 개념은 선형대수에서 “어디까지 도달할 수 있는가?”를 묻는 핵심 도구다.
벡터 공간의 정의
집합 $V$가 벡터 공간(Vector Space)이 되려면 두 가지 연산 — 덧셈 $\vec{u} + \vec{v}$와 스칼라 곱 $c\vec{v}$ — 에 대해 다음 성질들을 만족해야 한다.
주요 공리:
- 덧셈의 닫힘: $\vec{u}, \vec{v} \in V \Rightarrow \vec{u} + \vec{v} \in V$
- 스칼라 곱의 닫힘: $\vec{v} \in V, c \in \mathbb{R} \Rightarrow c\vec{v} \in V$
- 영벡터 존재: $\vec{0} \in V$
- 덧셈의 교환·결합 법칙, 역원 존재, 분배 법칙 등
$\mathbb{R}^n$ 자체가 대표적인 벡터 공간이다.
부분공간의 정의와 조건
벡터 공간 $V$의 부분집합 $W$가 부분공간(Subspace)이 되려면 다음 세 가지 조건을 만족해야 한다.
조건 1 — 영벡터 포함:
\[\vec{0} \in W\]조건 2 — 덧셈에 대해 닫힘:
\[\vec{u}, \vec{v} \in W \Rightarrow \vec{u} + \vec{v} \in W\]조건 3 — 스칼라 곱에 대해 닫힘:
\[\vec{v} \in W,\; c \in \mathbb{R} \Rightarrow c\vec{v} \in W\]조건 2와 3을 합치면: $W$는 모든 선형결합에 대해 닫혀 있다.
부분공간이 아닌 예시
$\mathbb{R}^2$에서 $W = {(x, y) : x \geq 0, y \geq 0}$ (제1사분면)은 부분공간이 아니다. $(1, 1) \in W$이지만 $-1 \cdot (1, 1) = (-1, -1) \notin W$ — 스칼라 곱에 대해 닫혀 있지 않다.
생성 (Span)
벡터들 $\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_k \in \mathbb{R}^n$의 생성(Span)은 이 벡터들의 모든 가능한 선형결합의 집합이다:
\[\text{span}\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_k\} = \{c_1\vec{v}_1 + c_2\vec{v}_2 + \cdots + c_k\vec{v}_k \mid c_1, c_2, \ldots, c_k \in \mathbb{R}\}\]성질: Span은 항상 부분공간이다. $c_i = 0$으로 두면 $\vec{0}$이 포함되고, 선형결합의 합·스칼라 곱도 선형결합이기 때문이다.
1D Span — 직선
하나의 영이 아닌 벡터 $\vec{v}$의 Span:
\[\text{span}\{\vec{v}\} = \{c\vec{v} \mid c \in \mathbb{R}\}\]이것은 원점을 지나고 $\vec{v}$ 방향의 직선이다.
예를 들어 $\vec{v} = \begin{pmatrix}2\1\end{pmatrix}$이면 $\text{span}{\vec{v}}$는 기울기 $\tfrac{1}{2}$인 원점을 지나는 직선이다.
2D Span — 평면
두 벡터 $\vec{v}_1, \vec{v}_2$가 서로 평행하지 않으면:
\[\text{span}\{\vec{v}_1, \vec{v}_2\}\]는 원점을 포함하는 2차원 평면이 된다.
$\mathbb{R}^3$에서 두 벡터 $\vec{v}_1 = (1, 0, 0)^\top$, $\vec{v}_2 = (0, 1, 0)^\top$이라면 $\text{span}{\vec{v}_1, \vec{v}_2}$는 xy 평면 전체다.
Span과 부분공간의 관계
| 벡터 집합 | Span | 기하학적 의미 |
|---|---|---|
| ${\vec{0}}$ | ${\vec{0}}$ | 점 (0차원) |
| ${\vec{v}}$ ($\vec{v} \neq \vec{0}$) | 직선 | 1차원 부분공간 |
| ${\vec{v}_1, \vec{v}_2}$ (비평행) | 평면 | 2차원 부분공간 |
| ${\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3}$ (비종속) | $\mathbb{R}^3$ | 3차원 전체 공간 |
핵심 포인트 정리
| 개념 | 설명/공식 |
|---|---|
| 벡터 공간 | 덧셈·스칼라 곱에 대해 닫힌 집합 |
| 부분공간 3조건 | $\vec{0}$ 포함, 덧셈 닫힘, 스칼라 곱 닫힘 |
| 생성(Span) | $\text{span}{\vec{v}_1,\ldots,\vec{v}_k}$ = 모든 선형결합 |
| Span은 항상 부분공간 | 선형결합의 합·스칼라 곱도 선형결합 |
| 1D Span | 하나의 벡터 → 원점을 지나는 직선 |
| 2D Span | 두 비평행 벡터 → 원점을 포함하는 평면 |
다음 글에서는 선형 독립과 기저 — 벡터들이 진짜로 “다른” 방향인지 판단하는 방법을 알아본다.