1.4 벡터의 크기와 단위벡터
도입
스마트폰 GPS가 두 정보를 동시에 알려준다고 생각해보자. “목적지까지 직선거리 500m, 방향은 북동쪽.” 여기서 거리(500m) 는 크기를, 북동쪽 은 방향을 나타낸다. 내비게이션이 제대로 안내하려면 이 두 정보가 모두 필요하다.
벡터도 마찬가지다. 벡터 $\vec{v} = (3, 4)$ 라고 할 때, 이 벡터가 “얼마나 긴지(크기)”와 “어느 방향을 향하는지(방향)” 를 분리해서 생각할 수 있다. 크기 는 피타고라스 정리로, 방향 은 단위벡터로 표현한다. 이 두 개념을 이해하면 벡터를 훨씬 정밀하게 다룰 수 있다.
벡터의 크기 (Norm)
정의
2차원 벡터 $\vec{v} = (v_1, v_2)$ 의 크기(norm, 또는 길이)는 원점에서 끝점까지의 거리로 정의되며, 피타고라스 정리로 계산한다:
\[\|\vec{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}\]기하학적으로 보면, $v_1$ 은 $x$축 방향의 변위, $v_2$ 는 $y$축 방향의 변위이고, 이 두 성분이 직각삼각형의 두 변을 이루므로 빗변의 길이가 벡터의 크기가 된다.
예시
$\vec{v} = (3, 4)$ 일 때:
\[\|\vec{v}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\]이 예시는 피타고라스 정리의 대표적인 수 쌍(3-4-5 직각삼각형)으로, 직관적으로 이해하기 좋다.
추가 예시:
- $\vec{u} = (1, 1)$ 이면 $|\vec{u}| = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} \approx 1.414$
- $\vec{w} = (-5, 0)$ 이면 $|\vec{w}| = \sqrt{25+0} = 5$
크기는 항상 0 이상이며, $|\vec{v}| = 0$ 이면 $\vec{v} = \vec{0}$ (영벡터) 이다.
3차원 크기
3차원 벡터 $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$ 의 크기는 피타고라스 정리를 두 번 적용하여 구한다:
\[\|\vec{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}\]예시: $\vec{v} = (1, 2, 2)$ 일 때
\[\|\vec{v}\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3\]$n$차원으로 일반화하면:
\[\|\vec{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}\]단위벡터 (Unit Vector)
정의
단위벡터(unit vector) 는 크기가 정확히 1인 벡터다. 단위벡터는 방향 정보만 담고 있으며, 크기 정보는 제거된 상태다.
벡터 $\vec{v}$ 의 단위벡터 $\hat{v}$ 는 $\vec{v}$ 를 자신의 크기로 나누어 구한다:
\[\hat{v} = \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}\]검증: $|\hat{v}| = \left|\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}\right| = \frac{|\vec{v}|}{|\vec{v}|} = 1$ $\checkmark$
예시
$\vec{v} = (3, 4)$, $|\vec{v}| = 5$ 일 때:
\[\hat{v} = \frac{(3, 4)}{5} = \left(\frac{3}{5},\ \frac{4}{5}\right) = (0.6,\ 0.8)\]검증: $|\hat{v}| = \sqrt{0.6^2 + 0.8^2} = \sqrt{0.36 + 0.64} = \sqrt{1} = 1$ $\checkmark$
주의: 영벡터 $\vec{0}$ 는 크기가 0이므로 단위벡터가 존재하지 않는다 (0으로 나누기는 정의되지 않음).
표준 단위벡터 (Standard Basis Vectors)
좌표축 방향의 단위벡터를 표준 단위벡터(표준 기저벡터) 라고 한다.
2차원
\[\hat{i} = (1,\ 0), \qquad \hat{j} = (0,\ 1)\]- $\hat{i}$: $x$축 양의 방향 단위벡터
- $\hat{j}$: $y$축 양의 방향 단위벡터
3차원
\[\hat{i} = (1, 0, 0), \qquad \hat{j} = (0, 1, 0), \qquad \hat{k} = (0, 0, 1)\]- $\hat{i}$: $x$축 방향
- $\hat{j}$: $y$축 방향
- $\hat{k}$: $z$축 방향
각 표준 단위벡터는 크기가 정확히 1임을 확인할 수 있다:
\[\|\hat{i}\| = \sqrt{1^2} = 1, \quad \|\hat{j}\| = \sqrt{1^2} = 1, \quad \|\hat{k}\| = \sqrt{1^2} = 1\]크기와 방향의 분해
벡터는 크기와 방향의 곱으로 분해할 수 있다:
\[\vec{v} = \|\vec{v}\| \cdot \hat{v}\]- $|\vec{v}|$: 스칼라 (얼마나 큰지)
- $\hat{v}$: 단위벡터 (어느 방향인지)
예시: $\vec{v} = (3, 4)$ 이면
\[\vec{v} = 5 \cdot \left(\frac{3}{5},\ \frac{4}{5}\right)\]이 분해는 물리학에서 힘의 크기와 방향을 분리할 때, 컴퓨터 그래픽에서 정규화(normalization)를 수행할 때 매우 유용하게 쓰인다.
또한 표준 단위벡터를 이용하면 2차원의 모든 벡터를 다음과 같이 표현할 수 있다:
\[\vec{v} = (v_1, v_2) = v_1\hat{i} + v_2\hat{j}\]핵심 포인트 정리
| 개념 | 설명 |
|---|---|
| 벡터의 크기 (2D) | $|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$ (피타고라스 정리) |
| 벡터의 크기 (3D) | $|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$ |
| 크기의 성질 | 항상 $|\vec{v}| \geq 0$, $|\vec{v}|=0 \Leftrightarrow \vec{v}=\vec{0}$ |
| 단위벡터 | $\hat{v} = \vec{v} / |\vec{v}|$, 크기가 1인 벡터 |
| 표준 단위벡터 (2D) | $\hat{i}=(1,0)$, $\hat{j}=(0,1)$ |
| 표준 단위벡터 (3D) | $\hat{i}=(1,0,0)$, $\hat{j}=(0,1,0)$, $\hat{k}=(0,0,1)$ |
| 크기-방향 분해 | $\vec{v} = |\vec{v}| \cdot \hat{v}$ |
| 대표 예시 | $\vec{v}=(3,4) \Rightarrow |\vec{v}|=5$, $\hat{v}=(0.6, 0.8)$ |
다음 글에서는 두 벡터 사이의 각도와 관련된 연산인 내적(Dot Product) 을 알아본다.