1.3 스칼라 곱 (Scalar Multiplication)
도입
자전거를 타고 동쪽으로 $10\text{km/h}$ 로 이동 중이라고 하자. 속도를 2배로 높이면 동쪽으로 $20\text{km/h}$, 절반으로 줄이면 동쪽으로 $5\text{km/h}$ 가 된다. 방향은 그대로이고 크기만 바뀐다. 반대로 브레이크를 걸어 역방향으로 같은 힘을 가하면 서쪽으로 $10\text{km/h}$ 가 된다.
이처럼 벡터에 스칼라(숫자)를 곱해 크기와 방향을 조절하는 연산이 바로 스칼라 곱이다. 덧셈과 함께 벡터 대수의 두 기둥을 이루는 핵심 연산이다.
스칼라 곱의 정의
스칼라 $c \in \mathbb{R}$ 와 벡터 $\vec{v} = (v_1, v_2)$ 에 대해 스칼라 곱은 각 성분에 스칼라를 곱하는 것으로 정의한다:
\[c\vec{v} = (cv_1,\ cv_2)\]3차원으로 확장하면:
\[c\vec{v} = (cv_1,\ cv_2,\ cv_3)\]예시: $c = 3$, $\vec{v} = (2, -1)$ 일 때
\[3\vec{v} = (3 \cdot 2,\ 3 \cdot (-1)) = (6, -3)\]
기하학적 의미
스칼라 값 $c$ 에 따라 벡터가 어떻게 변하는지 기하학적으로 살펴보자.
$c > 1$ : 확대 (같은 방향)
\[c = 2,\quad \vec{v} = (1, 2) \Rightarrow 2\vec{v} = (2, 4)\]벡터의 방향은 유지되고, 크기가 $c$ 배로 늘어난다.
$0 < c < 1$ : 축소 (같은 방향)
\[c = \frac{1}{2},\quad \vec{v} = (4, 2) \Rightarrow \frac{1}{2}\vec{v} = (2, 1)\]벡터의 방향은 유지되고, 크기가 $c$ 배로 줄어든다.
$c < 0$ : 방향 반전
\[c = -1,\quad \vec{v} = (3, 1) \Rightarrow -\vec{v} = (-3, -1)\]| 크기는 $ | c | $ 배가 되고, 방향이 정반대로 바뀐다. 특히 $c = -1$ 이면 역벡터가 된다. |
$c = 0$ : 영벡터
\[0 \cdot \vec{v} = (0, 0) = \vec{0}\]어떤 벡터에 0을 곱하면 영벡터가 된다.
스칼라 곱의 성질
스칼라 $c, d \in \mathbb{R}$ 와 벡터 $\vec{u}, \vec{v}$ 에 대해 다음 성질이 성립한다.
스칼라에 대한 분배법칙
\[(c + d)\vec{v} = c\vec{v} + d\vec{v}\]예시: $(2 + 3)\vec{v} = 5\vec{v} = 2\vec{v} + 3\vec{v}$
벡터에 대한 분배법칙
\[c(\vec{u} + \vec{v}) = c\vec{u} + c\vec{v}\]스칼라 곱은 벡터 덧셈에 대해 분배된다.
결합법칙
\[(cd)\vec{v} = c(d\vec{v})\]두 스칼라를 먼저 곱한 뒤 벡터에 적용하는 것과, 순차적으로 적용하는 것의 결과가 같다.
항등원
\[1 \cdot \vec{v} = \vec{v}\]스칼라 $1$ 은 벡터를 변화시키지 않는 스칼라 곱의 항등원이다.
선형결합 (Linear Combination)
스칼라 곱과 벡터 덧셈을 결합하면 선형결합(linear combination) 이라는 강력한 개념이 등장한다.
벡터 $\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_n$ 과 스칼라 $c_1, c_2, \ldots, c_n$ 에 대해, 선형결합은 다음과 같이 정의된다:
\[c_1\vec{v}_1 + c_2\vec{v}_2 + \cdots + c_n\vec{v}_n\]예시: $\vec{v}_1 = (1, 0)$, $\vec{v}_2 = (0, 1)$, $c_1 = 3$, $c_2 = 2$ 일 때
\[3(1, 0) + 2(0, 1) = (3, 0) + (0, 2) = (3, 2)\]선형결합은 선형대수학 전반에서 등장하는 핵심 아이디어다. 어떤 벡터를 다른 벡터들의 선형결합으로 표현할 수 있는지, 표현할 수 있다면 어떤 계수로 표현되는지가 벡터 공간의 구조를 결정한다.
특히, 표준 단위벡터 $\hat{i} = (1, 0)$, $\hat{j} = (0, 1)$ 를 사용하면 2차원 평면 위의 모든 벡터를 선형결합으로 나타낼 수 있다:
\[\vec{v} = (v_1, v_2) = v_1\hat{i} + v_2\hat{j}\]핵심 포인트 정리
| 개념 | 설명 | ||
|---|---|---|---|
| 스칼라 곱 정의 | $c\vec{v} = (cv_1,\ cv_2)$, 각 성분에 스칼라를 곱함 | ||
| $c > 1$ | 같은 방향으로 크기 확대 | ||
| $0 < c < 1$ | 같은 방향으로 크기 축소 | ||
| $c < 0$ | 방향 반전 (크기는 $ | c | $ 배) |
| $c = 0$ | 결과는 영벡터 $\vec{0}$ | ||
| 분배법칙 (스칼라) | $(c+d)\vec{v} = c\vec{v} + d\vec{v}$ | ||
| 분배법칙 (벡터) | $c(\vec{u}+\vec{v}) = c\vec{u} + c\vec{v}$ | ||
| 결합법칙 | $(cd)\vec{v} = c(d\vec{v})$ | ||
| 항등원 | $1 \cdot \vec{v} = \vec{v}$ | ||
| 선형결합 | $c_1\vec{v}_1 + c_2\vec{v}_2 + \cdots + c_n\vec{v}_n$ |
다음 글에서는 벡터의 크기와 단위벡터 를 알아본다.