1.2 벡터의 덧셈과 뺄셈
도입
서울에서 출발해 동쪽으로 3km 이동한 뒤, 다시 북쪽으로 4km 이동했다고 하자. 최종 위치는 어디일까? 두 번의 이동을 합치면 결국 출발점으로부터 “동쪽 3km, 북쪽 4km” 떨어진 곳에 있게 된다. 이처럼 두 이동(변위)을 합치는 연산이 바로 벡터의 덧셈이다.
벡터의 뺄셈도 일상에서 쉽게 만날 수 있다. 친구가 현재 $B$ 지점에 있고 내가 $A$ 지점에 있을 때, “나에서 친구까지의 상대적인 변위”는 $\vec{B} - \vec{A}$ 로 나타낼 수 있다. 즉, 두 위치벡터의 차이가 상대적인 방향과 거리를 알려준다.
벡터의 덧셈
성분별 덧셈
두 벡터 $\vec{u} = (u_1, u_2)$, $\vec{v} = (v_1, v_2)$ 가 있을 때, 덧셈은 같은 축 방향의 성분끼리 더하면 된다:
\[\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1,\ u_2 + v_2)\]3차원으로 확장하면:
\[\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1,\ u_2 + v_2,\ u_3 + v_3)\]예시: $\vec{u} = (3, 1)$, $\vec{v} = (1, 4)$ 일 때
\[\vec{u} + \vec{v} = (3+1,\ 1+4) = (4, 5)\]
기하학적 해석: Tip-to-Tail 법칙
벡터 덧셈을 기하학적으로 보는 첫 번째 방법은 Tip-to-Tail(끝에서 꼬리) 법칙이다.
- $\vec{u}$ 를 임의의 위치에 그린다.
- $\vec{u}$ 의 끝점(tip) 에 $\vec{v}$ 의 시작점(tail) 을 붙인다.
- $\vec{u}$ 의 시작점에서 $\vec{v}$ 의 끝점으로 향하는 화살표가 바로 $\vec{u} + \vec{v}$ 이다.
이 방법은 “두 번 이동한 뒤의 최종 변위”를 직관적으로 보여준다.
기하학적 해석: 평행사변형 법칙
두 번째 방법은 평행사변형 법칙(Parallelogram Law) 이다.
- 같은 시작점에서 $\vec{u}$ 와 $\vec{v}$ 를 각각 그린다.
- 두 벡터를 두 변으로 하는 평행사변형을 그린다.
- 평행사변형의 대각선이 $\vec{u} + \vec{v}$ 이다.
두 방법은 항상 같은 결과를 준다.
덧셈의 성질
벡터 $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ 와 영벡터 $\vec{0} = (0, 0)$ 에 대해 다음 성질이 성립한다.
교환법칙 (Commutativity)
\[\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}\]평행사변형을 떠올리면 직관적으로 이해할 수 있다. 어느 변을 먼저 그려도 대각선은 동일하다.
결합법칙 (Associativity)
\[(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})\]세 벡터를 더하는 순서를 바꾸어도 결과는 같다.
영벡터 (Zero Vector)
모든 성분이 0인 벡터 $\vec{0} = (0, 0)$ 은 덧셈의 항등원이다:
\[\vec{v} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{v} = \vec{v}\]역벡터 (Additive Inverse)
벡터 $\vec{v} = (v_1, v_2)$ 에 대해 역벡터 $-\vec{v} = (-v_1, -v_2)$ 가 존재한다:
\[\vec{v} + (-\vec{v}) = \vec{0}\]역벡터는 $\vec{v}$ 와 크기는 같고 방향이 반대인 벡터다.
벡터의 뺄셈
정의
벡터의 뺄셈은 역벡터를 더하는 연산으로 정의한다:
\[\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})\]성분별로 계산하면:
\[\vec{u} - \vec{v} = (u_1 - v_1,\ u_2 - v_2)\]예시: $\vec{u} = (5, 3)$, $\vec{v} = (2, 1)$ 일 때
\[\vec{u} - \vec{v} = (5-2,\ 3-1) = (3, 2)\]뺄셈의 기하학적 의미
같은 시작점에서 $\vec{u}$ 와 $\vec{v}$ 를 그렸을 때, $\vec{u} - \vec{v}$ 는 $\vec{v}$ 의 끝점에서 $\vec{u}$ 의 끝점으로 향하는 벡터이다.
다시 말해, $\vec{u} - \vec{v}$ 는 “$\vec{v}$ 의 위치에서 $\vec{u}$ 의 위치까지의 상대적인 변위”를 나타낸다. 두 점의 위치벡터가 각각 $\vec{u}$, $\vec{v}$ 일 때, 두 점 사이의 벡터를 구하는 데 뺄셈이 사용된다.
Tip-to-Tail로 검증: $-\vec{v}$ 를 먼저 그린 뒤 $\vec{u}$ 를 붙이면 같은 결과를 얻는다.
핵심 포인트 정리
| 개념 | 설명 |
|---|---|
| 벡터 덧셈 (성분) | $\vec{u} + \vec{v} = (u_1+v_1,\ u_2+v_2)$ |
| Tip-to-Tail 법칙 | $\vec{v}$ 의 꼬리를 $\vec{u}$ 의 끝에 붙이면 합벡터 |
| 평행사변형 법칙 | 두 벡터를 변으로 하는 평행사변형의 대각선이 합벡터 |
| 교환법칙 | $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$ |
| 결합법칙 | $(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w} = \vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})$ |
| 영벡터 | $\vec{v} + \vec{0} = \vec{v}$ |
| 역벡터 | $\vec{v} + (-\vec{v}) = \vec{0}$, 방향이 반대인 벡터 |
| 벡터 뺄셈 | $\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v}) = (u_1-v_1,\ u_2-v_2)$ |
| 뺄셈의 기하학적 의미 | $\vec{v}$ 끝점에서 $\vec{u}$ 끝점으로 향하는 벡터 |
다음 글에서는 스칼라 곱(Scalar Multiplication) 을 알아본다.