1.1 벡터란 무엇인가
도입
길을 설명할 때 “500m 걸어가세요”라고만 하면 충분할까? 아마 “북쪽으로 500m 걸어가세요”라고 해야 제대로 도착할 수 있을 것이다. 여기서 “500m”는 크기(magnitude) 만 있는 정보이고, “북쪽으로 500m”는 크기와 방향(direction) 을 모두 담고 있는 정보다.
수학에서도 이 구분은 중요하다. 크기만 가진 값을 스칼라(scalar), 크기와 방향을 함께 가진 값을 벡터(vector) 라고 부른다.
벡터의 정의
스칼라(Scalar)
스칼라는 크기만으로 완전히 표현되는 양이다.
- 온도: $37°C$
- 질량: $5\text{kg}$
- 시간: $3\text{s}$
하나의 숫자로 충분히 설명할 수 있다.
벡터(Vector)
벡터는 크기와 방향을 함께 가지는 양이다.
- 속도: 시속 $60\text{km}$, 동쪽 방향
- 힘: $10\text{N}$, 위 방향
- 변위: $3\text{m}$, 북동 방향
표기법
벡터는 보통 다음과 같이 표기한다:
- 화살표 표기: $\vec{v}$
- 볼드체 표기: $\mathbf{v}$
- 성분 표기: $(v_1, v_2)$ 또는 $\begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \end{pmatrix}$
| 벡터의 크기(길이)는 $ | \vec{v} | $ 또는 $|\vec{v}|$ 로 표기한다. |
벡터의 표현
좌표계에서의 벡터
벡터를 구체적으로 다루려면 좌표계(coordinate system) 가 필요하다. 2차원 좌표평면에서 벡터는 시점(initial point) 에서 종점(terminal point) 으로 향하는 화살표로 표현된다.
예를 들어, 점 $A(1, 1)$에서 점 $B(4, 3)$으로 향하는 벡터 $\vec{AB}$는:
\[\vec{AB} = B - A = (4-1,\ 3-1) = (3, 2)\]
위치벡터(Position Vector)
위치벡터란 시점이 원점 $O(0, 0)$인 벡터를 말한다. 점 $P(3, 2)$의 위치벡터는:
\[\vec{OP} = (3, 2)\]위치벡터를 사용하면 벡터를 좌표(숫자 쌍)로 간결하게 표현할 수 있다.
자유벡터(Free Vector)
벡터는 기본적으로 자유벡터다. 즉, 시작 위치에 관계없이 크기와 방향이 같으면 같은 벡터로 취급한다. 원점에서 출발하든, 점 $(2, 3)$에서 출발하든, 방향과 크기가 동일하면 동일한 벡터다.
2D / 3D 벡터
2D 벡터
2차원 벡터는 두 개의 성분으로 구성된다:
\[\vec{v} = (v_1, v_2)\]- $v_1$: $x$축 방향 성분
- $v_2$: $y$축 방향 성분
예시: $\vec{v} = (3, 2)$는 $x$축 방향으로 3, $y$축 방향으로 2만큼 이동하는 벡터다.
벡터의 크기:
\[|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\]3D 벡터
3차원 벡터는 세 개의 성분으로 확장된다:
\[\vec{w} = (w_1, w_2, w_3)\]예시: $\vec{w} = (1, 2, 3)$
벡터의 크기:
\[|\vec{w}| = \sqrt{w_1^2 + w_2^2 + w_3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}\]핵심 포인트 정리
| 개념 | 설명 |
|---|---|
| 스칼라(Scalar) | 크기만 가지는 양 (예: 온도, 질량) |
| 벡터(Vector) | 크기 + 방향을 가지는 양 (예: 속도, 힘) |
| 위치벡터(Position Vector) | 원점에서 출발하는 벡터 |
| 자유벡터(Free Vector) | 시작점에 관계없이 크기·방향이 같으면 동일 |
| 벡터 표기 | $\vec{v} = (v_1, v_2)$ 또는 $\mathbf{v}$ |
| 벡터의 크기 | $|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$ |
다음 글에서는 벡터의 덧셈과 스칼라 곱을 알아본다.