확률이론
일단 우리가 수학을 배울때 더하기 빼기를 배우는 것과 같이 통계, 그러니까 확률에서도 더하기 때기한게 존재는 한다.
일단 토대가 되는 것이 합집합과 교집합이다.
일단 합집합과 교집합에 대해 알아보고 확률은 어떻게 이루워지는가 에 대해 알아보자.
- 합집합(union)
합집합은 두 개 이상의 집합에서 원소들을 중복을 제거하고 합쳐놓은 것을 말합니다.
합집합은 기호로 $\cup$로 표기하며, A와 B라는 두 개의 집합이 있다면 A와 B의 합집합은 $A\cup B$로 나타낼 수 있습니다.
예를 들어,
$A$ = {1, 2, 3} 이고 $B$ = {2, 3, 4}라면, A와 B의 합집합은 {1, 2, 3, 4}가 됩니다.
또한 합집합을 무한히 나열하거나 일정 개수만큼 나열할때에는
$\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n$
로 표현하며
$\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n = A_1 \cup A_2 \cup A_3 … $
이라고 할 수 있다.
- 교집합(intersection)
교집합은 두 개 이상의 집합에서 공통으로 속하는 원소들로 이루어진 집합을 말합니다.
교집합은 기호로 $\cap$로 표기하며, A와 B라는 두 개의 집합이 있다면 A와 B의 교집합은 $A\cap B$로 나타낼 수 있습니다.
예를 들어,
$A$ = {1, 2, 3} 이고 $B$ = {2, 3, 4}라면, A와 B의 교집합은 {2, 3}이 됩니다.
또한 교집합을 무한히 나열하거나 일정 개수만큼 나열할 때에는
$\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n$
로 표현하며,
$\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n = A_1 \cap A_2 \cap A_3 …$
이라고 할 수 있습니다.
- 확률이 되기 위한 조건
모든 사건에 대한 확률의 합은 1이어야 합니다.
즉, 모든 사건이 발생할 확률의 합은 1이 되어야 합니다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같습니다.
$P(\Omega) = 1$
여기서 $\Omega$는 표본공간을 의미합니다.
모든 확률은 0보다 크거나 같아야 합니다.
어떤 사건의 확률이 0보다 작거나 음수일 수는 없습니다. 즉, 모든 확률은 0보다 크거나 같아야 합니다.
$0≤P(A_n)≤1$
$P(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n)=\sum_{n=1}^{\infty} P(A_n)$
이 식이 뜻하는 바는
“서로 배반인 무한개의 사건 중 하나가 일어날 확률은 각각의 확률을 합한 것과 같다”
입니다.
따라서
위의 3가지 정리들이 정의되어야, $A_n$ 을 확률 변수라고 할 수 있습니다.